とある証明(初等整数論) - kazumathematicsのブログ

とある初等整数論の命題の系の証明で $x^2+1=0$ を満たす $x$ について引っかかっているのだが、抜粋すると\begin{align}
|\{x\in\mathbb{F}_p\mid x^2+1=0\}|=1\ \ (p=2 のとき)
\end{align}

に対する証明で

\begin{align*} p=2 のときは x=1 だけが x^2+1=0を満たす．\end{align*}

で済まされている。もちろん代数方程式として $x^2+1=0$ は実数解を持たない。恐らく基本的な命題(系)であると思われるので別の証明をネットで検索してみたら幾つか同じ命題があったのだが、その証明が全て同じ文言。ちなみにこの系は $p\equiv 1 \mod 4$ のときと $p\equiv 3 \mod 4$ の場合が続くが、全体の証明は3行で終わっている。検索で引っかかったものには卒論も含まれているのだが、それも含めすべてこの命題に関して全く同じ文章になっている。つまり自分と同じ教科書を見て丸々引用されているわけだ。

教科書に関しては奇素数 $p\equiv1\ \ \text{or} \ \ 3\mod 4$ も証明されていないし、 $p\equiv 1 \mod 4$ について若干不親切な証明を示した後、 $p\equiv 3 \mod 4$ については「その他」的扱いで言及が一切されていない。

「 $p=2 のときは x=1 だけが x^2+1=0を満たす．$ 」は誤植ではないようで、恐らく前節に書かれている「以下，誤解の恐れがない限り，整数 $a\in\mathbb{Z}$ に対して $\mathbb{F}_p$ の元 $\overline{a}=a+(p)$ を単に $a$ と書く．」がトリガーではないかと思われ、素数の剰余環 $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/(p)$ について復習せよということ、即ち「 $x=1$ 」という表現が具体的にどのような数(集合)であって $x^2+1=0$ を満たすのか(この問いに関しては $p\gt 2$ の場合も同様)だとは思うのだが…。いかんせん具体例が欲しいところである…。